В тех случаях, когда после устройства вертикальных дрен их пригружают высокой дамбой для создания напора в поровой воде, а дрены размещают на расстоянии 1,5—3 м одна от другой, основание работает по схеме равных деформаций. По этой же схеме основание работает, если дрены расположены на большем расстоянии друг от друга, но поверху горизонтальной дренирующей песчаной подушки установлен фундамент в виде жесткой железобетонной плиты.

При разработке расчета консолидации водонасыщенных глинистых грунтов в этом случае мы исходим из общего дифференциального уравнения пространственной задачи консолидации грунтов (IV.3.4) и считаем, что фильтрация воды через грунты основания в дрены протекает с отклонением от закона Дарси.

Переходя к полярной системе координат и выразив скорость фильтрации через избыточное поровое давление и начальный градиент напора , запишем дифференциальное уравнение осесимметричной задачи консолидации грунтового массива в следующем виде:

.             (IV.5.1)

В нашем расчете, как и в предыдущем пункте, мы исходим из положения, что сумма среднего порового давления и среднего эффективного напряжения в грунтовом массиве в любой момент времени t равна внешней нагрузке q:

.

Поскольку деформации на любой глубине в любое заданное время равны, т. е. зависят только от времени t, коэффициент пористости также является функцией только времени:

.

Подставив полученный результат в уравнение (IV.5.1) и введя обозначение коэффициента консолидации

,

приведем уравнение (IV.5.1) к виду

,                     (IV.5.2)

где    — избыточное поровое давление воды;
— среднее избыточное поровое давление:

.                     (IV.5.3)

Уравнение (IV.5.2) решается при следующих граничных и начальных условиях [по аналогии с граничными условиями (IV.3.11)]:

.                        (IV.5.4)

Так как граничные условия неоднородны, ищем решение уравнения (IV.5.2) в виде

.              (IV.5.5)

Подставив выражение (IV.5.5) в (IV.5.2), получим

.

Таким образом, функция определяется дифференциальным уравнением

.                (IV.5.6)

при следующих граничных условиях:

;                         (IV.5.7)

;                   (IV.5.8)

Определим начальное условие для функции :

,       (IV.5.9)

где

.

Введем обозначение

(IV.5.10)

и с учетом его запишем условие (IV.5.9) в виде

.                    (IV.5.11)

Решение уравнения (IV.5.6) ищем в виде

,                                     (IV.5.12)

при этом

.                                     (IV.5.13)

Подставим (IV.5.12) в уравнение (IV.5.6) [с учетом того, что — среднее значение ] и найдем

.

Обе части уравнения сократим на :

(IV.5.14)

при и .
Подстановкой (IV.5.14) сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого имеет следующий вид:

,             (IV.5.15)

а решение уравнения (IV.5.6) записывается так:

.        (IV.5.16)

Для определения воспользуемся начальным условием :

;

.

;

.

Обозначив , получим

,

откуда

.

Обозначив выражение в квадратной скобке через , запишем

.                                    (IV.5.17)

Подставим полученное значение в (IV.5.16):

.     (IV.5.18)

Таким образом, решение уравнения (IV.5.2) в соответствии с (IV.5.5) будет иметь следующий вид:

.      (IV.5.19)

При получается известное решение Баррона.