При расчете этого случая (см. рис. IV.7) принимаем те же граничные условия и те же обозначения, что и для случая свободных деформаций. Зона I () описывается дифференциальным уравнением (IV.6.1) и имеет граничные условия (IV.6.2) и (IV.6.2'). Зона II () описывается уравнением (IV.6.3) или (IV.6.4) и имеет граничные условия на границе между смятой и нарушенной зонами (IV.6.6) и (IV.6.7). Начальное условие в зоне II
. (IV.7.1)
Решение уравнения (IV.6.1) для зоны I имеет вид
, (IV.7.2)
причем значение находится из уравнения (IV.6.4), решение которого в зоне II ищется в виде суммы двух функций:
,
причем функция удовлетворяет уравнению
(IV.7.3)
и граничному условию
. (IV.7.3.a)
На границе выполняются условия:
(IV.7.4)
и
. (IV.7.5)
Начальное условие
, (IV.7.6)
где — начальное избыточное поровое давление.
Решение уравнения (IV.7.3) ищется в виде
(IV.7.7)
. (IV.7.8)
Подставляем (IV.7.7) и (IV.7.8) в уравнение (IV.7.3) и, сокращая его на , находим
(IV.7.9)
Как было показано выше,
.
Условие (IV.7.3.a) позволяет определить константу :
.
с учетом которой
, (IV.7.10)
а
. (IV.7.11)
При этом условие (IV.7.4) запишется в виде
. (IV.7.12)
Обратимся к условию (IV.7.5), из которого
,
где :
.
На основании значений этих производных на границе
,
Учитывая выражение (IV.7.12), получим
(IV.7.13)
Так как последнее выражение есть тождество, то следует приравнять свободные члены и коэффициенты при в левой и правой частях равенства:
,
откуда можно определить:
.
При
Таким образом, в зоне II () мы имеем следующий закон распределения избыточного порового давления:
.
После упрощения это выражение примет вид
(IV.7.14)
где приняты все прежние обозначения, а значение определяется согласно выражению (IV.7.6):
Введем обозначение . Тогда
.
Параметр , входящий в выражение (IV.7.14), определяется из начального условия
,
откуда
, (IV.7.15)
где определяется по равенству (IV.7.11).
Вычислим интеграл
С учетом этого равенство (IV.7.15) примет вид:
,
или после упрощений
(IV.7.16)
Введем обозначения
и
.
Тогда решение задачи, т. е. закон распределения избыточного порового давления в зоне II, запишется уравнением
(IV.7.17)
а закон распределения избыточного порового давления воды в зоне I:
, (IV.7.18)
где
(IV.7.19)
В частном случае, когда , т. e. отсутствует перемятая зона, выражение (IV.7.14) принимает следующий вид:
,
где при
,
причем здесь , а определяется по формуле (IV.7.16) при :
Таким образом, для случая получим выведенное ранее решение (IV.6.12).
Рассмотрим далее такие грунты, у которых начальный градиент равен нулю. Решение (IV.7.14) при принимает следующий вид:
, (IV.7.20)
где
(IV.7.21)
.
Если в выражениях (IV.7.20) и (IV.7.21) ввести обозначения
то получим известное решение Баррона.
|