Выбирая методы ускорения консолидации слабых водонасыщенных глинистых грунтов, часто бывает необходимо приближенно установить целесообразность применения вертикальных песчаных дрен при данной величине действующей нагрузки и заданных инженерно-геологических условиях площадки, пользуясь методами инженерных расчетов. Предлагаемый ниже инженерный метод расчета разработан исходя из следующих допущений.

1. Коэффициент сжимаемости грунтов основания является постоянной величиной в течение всего времени действия нагрузки (практически следует принимать среднее значение этого коэффициента).

2. Коэффициент фильтрации является постоянной величиной в течение всего времени действия нагрузки. Совершенно очевидно, что это допущение очень условно, что в процессе уплотнения коэффициент фильтрации может изменяться в десятки и сотни раз. В том случае, если известен коэффициент фильтрации грунта природной пористости и коэффициент фильтрации грунта после его уплотнения, а также известна изменяемость коэффициента фильтрации во времени, в расчет вводится его среднее значение.

3. Поровое давление в теле песчаной дрены равно нулю (это положение хорошо согласуется с данными наблюдений за поровым давлением в теле песчаной дрены).

4. Горизонтальные плоскости слоев грунта остаются горизонтальными в течение всего времени консолидации. Так как обычно поверху вертикальных песчаных дрен устраивают песчаную подушку (часто значительной толщины), а также пригрузочную насыпь, которые можно рассматривать как балки с определенными, хотя и невысокими прочностными характеристиками и которые значительно перераспределяют деформации, то это допущение следует считать вполне обоснованным, и оно определяет условие равных деформаций.

На основании четвертого допущения эффективное напряжение в скелете грунта зависит только от времени консолидации t. Чтобы учесть это допущение, в расчете мы принимаем среднее значение эффективных напряжений на горизонтальных плоскостях между дренами.

В отличие от случая свободных деформаций, где сначала определялось поровое давление в точке (решение дифференциального уравнения второго порядка), а затем среднее поровое давление (интегрированием и делением результата на площадь цилиндра диаметром D), данная задача решается сразу: определяется среднее значение эффективных напряжений (т. е. среднее значение порового давления). Благодаря этому удается записать уравнение консолидации при движении воды радиально (горизонтально) в дрену в виде дифференциального уравнения первого порядка.

При рассмотрении этой задачи сохраняются, кроме того, все основные допущения и краевые условия, приведенные в п. 3 настоящей главы.
В дальнейшем рассматривается задача консолидации при движении воды только горизонтально в вертикальную дрену без влияния горизонтальной дренирующей песчаной подушки.
При воздействии мгновенно приложенной постоянной равномерно распределенной нагрузки конечная осадка , а осадка в любой момент времени , где — среднее эффективное напряжение в горизонтальном сечении грунтового цилиндра радиусом R.
Степень консолидации , которая представляет собой отношение осадки водонасыщенного грунтового массива в момент времени t к конечной осадке грунтового массива s под действием равномерно распределенной нагрузки q, может быть получена из выражения:

.                           (IV.4.1)

Скорость фильтрации воды при уплотнении грунтов может быть выражена уравнением:

,                                  (IV.4.2)

где — среднее значение начального градиента напора для данного глинистого грунта основания в процессе уплотнения.

Количество воды, которое протекает через боковую поверхность цилиндра диаметром 2R и высотой, равной единице (см. рис. IV.2), будет равно количеству поровой воды, которая вытесняется из грунта, находящегося между цилиндрами радиусов R и r (высота обоих цилиндров равна единице). Но количество воды, вытесненной за единицу времени, пропорционально осадке за то же время. Из этого условия можно записать

.                        (IV.4.3)

На основании четвертого допущения (см. выше) эффективное напряжение по всей площади влияния дрены постоянно (средняя величина) и меняется лишь в зависимости от времени t.

Поровое давление и изменяется по мере удаления от дрены и зависит от времени консолидации t.
Из условия, что общее давление от нагрузки в пределах площади действия дрены равно эффективному напряжению плюс поровое давление и, получим:

.            (IV.4.4)

Из уравнений (IV.4.2) и (IV.4.3) находим

,             (IV.4.5)

а из уравнений (IV.4.1) и (IV.4.4)

.                   (IV.4.6)

Уравнение (IV.4.5) дает

.        (IV.4.7)

Из граничных условий при и

.                  (IV.4.8)

и тогда

.        (IV.4.9)

Из уравнений (IV.4.6) и (IV.4.7) получаем

откуда

.                  (IV.4.10)

Обозначим

.               (IV.4.11)

Тогда уравнение (IV.4.10) примет следующий вид:

.         (IV.4.12)

Разделив переменные и подставив в это выражение получим

,           (IV.4.13)

откуда

,          (IV.4.14)

или в ином виде

.           (IV.4.15)

Для грунтов, обладающих структурной прочностью сжатия, начальные условия будут следующими:

.

Из этого условия определим

.               (IV.4.16)

Подставляя значение D1 в уравнение (1V.4.15) и проводя преобразования, получим

.   (IV.4.17)

Степень консолидации в момент времени t

.    (IV.4.18)

Согласно этому уравнению увеличением времени осадка асимптотически приближается к конечному значению, так как степень консолидации с увеличением времени t стремится к единице.

Уравнение (IV.4.18) позволяет установить пределы применимости метода вертикальных дрен для сокращения сроков консолидации сильносжимаемых водонасыщенных глинистых грунтов.
При больших значениях структурной прочности сжатия консолидация протекает в более сжатые сроки.

Если , фильтрационной консолидации не происходит, так как вся нагрузка сразу же воспринимается скелетом грунта и осадки его обусловлены явлением вторичной консолидации.
Если начальный градиент напора велик и член уравнения

больше единицы, фильтрационной консолидации не происходит, так как напоры, создаваемые в поровой воде приложенной нагрузкой q, недостаточны, чтобы превысить начальный градиент напора.

Сравнение расчетных данных, полученных по формулам (IV.4.18) и формуле К. Терцаги и Л. Рендулика, с данными лабораторных исследований приведено ранее на рис. IV.6.