Вопросы консолидации при передвижении воды из слоя водонасыщенного грунта вертикально вверх (одномерная задача уплотнения) была рассмотрена К. Терцаги и Н. М. Герсевановым. Основное уравнение имеет следующий вид:
, (IV.2.1)
где - избыточное давление (сверх гидростатического) в поровой воде или поровое давление; - время консолидации; - коэффициент консолидации при отжатии воды только в вертикальном направлении:
;
- коэффициент фильтрации грунта в вертикальном направлении; - приведенный коэффициент сжимаемости грунта в вертикальном направлений:
;
- объемный вес воды; - начальный коэффициент пористости.
Эта задача обычно решалась методом Фурье. Частные решения с учетом влияния различных факторов были даны Б. П. Поповым, В. А. Флориным, Д. Е. Польшиным, Био и др.
В 1934 г. Л. Рендуллик рассмотрел осесимметричную задачу пространственной теории консолидации для случая радиальной фильтрации отжимаемой воды к вертикальной дрене радиусом , находящейся в центре грунтового цилиндра радиуса . Уравнение было записано в следующем виде:
. (IV.2.2)
где - переменный радиус; - коэффициент консолидации при отжатии воды только в радиальном (горизонтальном) направлении:
;
- коэффициент фильтрации грунта в горизонтальном направлении; - приведенный коэффициент сжимаемости грунта в горизонтальном направлении. При решении этого уравнения были приняты следующие граничные условия.
- Через внешнюю боковую поверхность грунтового цилиндра движения воды не происходит, т. е. при .
- Вертикальная дрена абсолютно водопроницаема, т. е. при .
Решение этой задачи проводилось по аналогии с решением задач теплопроводности с использованием функции Бесселя. Общее решение задач предложено Л. Рендулликом в следующем виде:
где - коэффициент ряда Фурье; - корни уравнения
.
Здесь - функции Бесселя и Неймана нулевого и первого порядков; - функция от функции Бесселя и Неймана. Приведенное решение дает возможность определить поровое давление в любой точке грунтового массива в любой момент времени. В дальнейшем, практическое использование этого решения было облегчено составлением графиков для различного отношения (рис. IV.3). Теоремы Н. Карилло. В 1942 г. Н. Карилло доказал следующую теорему. Если функция есть решение уравнения, описывающего симметричный радиальный поток:
,
а функция является решением уравнения линейного потока , то функция является решением для случая трехмерного течения, симметричного относительно оси z. Оно может быть описано уравнением
.
Рассматривая осесимметричную задачу уплотнения некоторого цилиндра водонасыщенного грунта конечной длины, Н. Карилло доказал вторую теорему, по которой решение задачи может быть представлено в виде:
(IV.2.3)
где - поровое давление в любой точке грунтового цилиндра в момент времени .
Рис. IV.3. Графики решений уравнений К. Терцаги и Л. Рендуллика
В этом случае вода отжимается в дрену и дренирующие поверхности на основаниях цилиндра. В момент времени во всех точках грунтового цилиндра (кроме дрены и дренирующих поверхностей) . На водопроницаемых дренирующих поверхностях при . Таким образом, на основе теорем Н. Карилло степень консолидации в любой точке грунтового цилиндра, равная отношению порового давления в момент времени к начальному поровому давлению, может быть рассмотрена как произведение двух отношений: отношения порового давления, обусловленного только радиальной фильтрацией в момент времени к начальному поровому давлению и отношения порового давления, обусловленного только вертикальной фильтрацией в момент времени , к начальному поровому давлению.
Теоремы Н. Карилло упростили задачу пространственной консолидации при устройстве вертикальных дрен. Отдельно рассматривается задача консолидации при движении отжимаемой воды вертикально вверх (одномерная задача) и отдельно решается задача консолидации при движении воды горизонтально в дрену (осесимметричная задача). Полученные решения можно совместить по теореме Н. Карилло:
(IV.2.4)
где - степень консолидации (отношение осадки за время к конечной величине осадки) при движении отжимаемой воды в вертикальном и горизонтальном направлениях; - степень консолидации при движении отжимаемой воды только в вертикальном направлении; - степень консолидации при движении отжимаемой воды только в горизонтальном направлении. Используя теоремы Н. Карилло, К. Терцаги предложил методику расчета вертикальных дрен с песчаной подушкой.
|