Общее дифференциальное уравнение пространственной задачи консолидации, устанавливающее зависимость между скоростью вытекания (фильтрации) воды из единичного объема и временем при уплотнении водонасыщенных грунтов, может быть записано так:

(IV.3.4)

Для решения этой задачи принимаем линейную зависимость между коэффициентом пористости и давлением

.                                  (IV.3.5)

Считаем, что движение воды при уплотнении сильносжимаемых водонасыщенных грунтов проходит с отклонением от закона Дарси. При этом величина начального градиента напора принимается постоянной и равной среднему значению (начального) градиента, изменяющегося в процессе уплотнения.
Если вертикальными плоскостями отделить зону влияния дрен в массиве грунта друг от друга (см. рис. IV.2), то массив разделится на отдельные призматические блоки с вертикальной дреной в центре.

В пределах каждого блока отжатие воды из грунта происходит таким образом, как если бы вертикальные стороны блоков были покрыты водонепроницаемыми мембранами, так как отжимаемая из водонасыщенного грунта вода движется в противоположные стороны от плоскостей вертикальных сечений в направлении дрены. Без существенных ошибок можно заменить призматические блоки цилиндрами того же объема с дреной, расположенной по оси цилиндра.

В этом случае пространственная задача консолидации сводится к осесимметричной задаче. Для решения этой задачи целесообразно принять цилиндрическую систему координат.
Уравнение (IV.3.4) после подстановки в него ; запишется в виде

.                    (IV.3.6)

Согласно принятому нами основному положению консолидации, сумма порового и эффективного напряжений в грунте в любой момент времени t равна внешней нагрузке q:

.

Решая совместно уравнения (IV.3.5) и (IV.3.6), получим

.                       (IV.3.7)

Рассмотрим случай, когда движение воды происходит только горизонтально к вертикальной дрене. Такой случай возможен, когда вертикальные дрены устраивают без сплошной горизонтальной песчаной подушки (например, при устройстве гидротехнических дамб).

При движении воды горизонтально закон фильтрации примет следующий вид:

.                      (IV.3.8)

Учитывая, что , и подставляя выражения (IV.3.7) и (IV.3.8) в уравнение (IV.3.6), получим

или

.           (IV.3.9)

Выражение известно в механике грунтов как коэффициент консолидации. С учетом этого уравнение осесимметричной задачи принимает следующий вид:

.                     (IV.3.10)

Математически задача сводится к интегрированию неоднородного линейного дифференциального уравнения

(IV.3.10')

при граничных и начальных условиях:

(IV.3.11)

Если расстояние между дренами в плане таково, что радиус цилиндрического грунтового блока R, по оси которого расположена дрена, меньше R_ф, где , то исходя из положения, что на расстоянии от центра дрены R до края грунтового цилиндра скорост фильтрации через поверхность цилиндра равна нулю,  граничное условие может быть принято следующим:

.

Это объясняется тем, что поверхность цилиндра является поверхностью, делящей расстояние между дренами пополам, в результате чего возникает симметричный отток воды от поверхности цилиндра к дренам. Аналогичное допущение было сделано Л. Рендулликом и Р. Барроном в своих работах.

Если радиус грунтового цилиндра R больше R_ф, фильтрации на расстоянии, равном или большем R_ф от поверхности дрены, не будет. В этом случае граничные условия следует определять на границе R_ф, т. е. на этой границе скорость фильтрации равна нулю:

.

При этом оказывается, что в грунтовом цилиндре, в зоне, где R>R_ф фильтрация в грунтах отсутствует, вода не отжимается в дрены и применение их неэффективно.
Таким образом, вертикальные дрены следует располагать в плане на таком расстоянии одна от другой, чтобы .
Будем искать в виде суммы двух функций

,                        (IV.3.12)

причем функцию U(r) подберем так, чтобы она удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению

(IV.3.13)

и граничным условиям:

(IV.3.14)

Функцию W(rt) подберем так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению

(IV.3.15)

и граничным и начальным условиям

(IV.3.16)

Можно показать, что сумма (IV.3.12) выбранных таким образом функций будет удовлетворять всем условиям задачи (IV.3.11). Действительно, имеем тождество:

,

.

Перейдем к решению первой вспомогательной задачи (IV.3.13). Заменив в этом уравнении dU/dr через b, получим решение в виде

.                           (IV.3.17)

Уравнение (IV.3.15) при начальном и граничных условиях (IV.3.16, а) решаем методом разделения переменных Фурье.

Ищем решение этого уравнения в виде произведения из которых зависит только от , а только от t. Подставляя последнее равенство в (IV.3.15), находим

.                           (IV.3.18)

Так как левая часть последнего равенства зависит от и не зависит от , а правая часть зависит от и не зависит от , то равенство левой и правой частей этого уравнения возможно лишь тогда, когда они обе равны одному и тому же постоянному числу. Из физических условий задачи следует, что это постоянное число не может быть положительным, так как в этом случае величина порового давления с возрастанием времени увеличивается и может сделаться больше любой наперед заданной величины, что невозможно. Следовательно, это число должно быть отрицательным.
Приравнивая каждое из отношений в (IV.3.18) отрицательному постоянному числу , получаем первое уравнение

(IV.3.19)

и второе уравнение

.

Последнее представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка, общий интеграл которого

.                            (IV.3.20.)

Уравнение (IV.3.20) имеет решение

,              (IV.3.21)

где и - есть функции Бесселя и Неймана нулевого порядка.

Дифференцируя (IV.3.21) по r, находим

,        (IV.3.22)

где и - функции Бесселя и Неймана первого порядка.

Уравнение (IV.3.22) получено из следующих свойств бесселевых функций:

.

Подставляя в (IV.3.21) и в (IV.3.22) , а также используя граничные условия (IV.3.16, а и  б), получим

(1V.3.23)

Для того чтобы система двух линейных однородных уравнений относительно неизвестных А и В имела нетривиальные решения, определитель системы должен быть равен нулю:

.

Отсюда для определения собственных чисел получаем следующее характеристическое уравнение:

.                     (IV.3.24)

Это уравнение имеет множество положительных вещественных корней , которым соответствует множество решений вида

(IV.3.25)

Если в это выражение вместо подставить его значение из (IV.3.23), то

,

,                           (IV.3.26)

где введены обозначения

.                   (IV.3.27)

Решение уравнения (IV.3.15) будем искать в виде бесконечного ряда, членами которого являются функции W(rt):

.                (IV.3.28)

Для определения коэффициентов этого разложения воспользуемся начальным условием (IV.3.16,в). Полагая в уравнении (IV.3.28) , получим

.             (IV.3.29)

Умножая левую и правую части уравнения (IV.3.29) на и интегрируя в пределах от до , получаем (предполагая допустимость почисленного интегрирования ряда)

.     (IV.3.30)

Покажем, что система бесселевых функций на интервале ортогональна с весом , т. е. что

, при ,

так как

(IV.3.31)

где

(IV.3.32)

.              (IV.3.33)

Если и являются корнями характеристического уравнения (IV.3.24), то

.                        (IV.3.34)

Непосредственной подстановкой в (IV.3.33) получаем тождества:

.

Таким образом, при всех , формула (IV.3.30) дает

,                              (IV.3.35)

что и выражает ортогональность системы функций

с весом в промежутке .

Так как все члены ряда (IV.3.30) обращаются в нули, кроме одного, соответствующего значению , то это равенство можно записать в виде

.                   (IV.3.36)

Согласно теории бесселевых функций

, (IV.3.37)

и, применяя соотношения (IV.3.36) и (IV.3.37), получим

.                  (IV.3.38)

Преобразуем правую часть последнего равенства к бесселевым функциям первого рода. Для вычисления положим в выражении (IV.3.32) и воспользуемся формулой для вронскиана функций и :

.                            (IV.3.39)

Тогда

.                  (IV.3.40)

Для нахождения заметим, что по характеристическому уравнению (IV.3.20)

(IV.3.41)

и поэтому

.

Применяя формулу (IV.3.40), находим

.                     (IV.3.42)

Подставляя значение (IV.3.40) и (IV.3.42) в (IV.3.38), получаем

.                   (IV.3.43)

Таким образом, окончательное решение уравнения (IV.3.15) дается рядом (IV.3.28)

(IV.3.44)

Согласно (IV.3.16, в) и (IV.3.17)

.

Для нахождения интеграла в выражении (IV.3.43)

применим формулу интегрирования по частям, полагая

;

,

откуда

;

и, следовательно,

(IV.3.45)

Для вычисления применим также формулу интегрирования по частям и найдем, что

.               (IV.3.46)

Подставляя в (IV.3.45) это выражение, получим

.                (IV.3.47)

Значение интеграла вычислим, пользуясь формулой трапеции, взяв шаг . Тогда

.

Подставляя найденное значение выражения (IV.3.47) в (IV.3.44) и взяв сумму функций (IV.3.17) и (IV.3.44), получим окончательное решение задачи (IV.3.10)

.              (IV.3.48)

Введем обозначения:

.

Тогда характеристическое уравнение принимает вид:

,                (IV.3.49)

в котором через обозначены корни этого уравнения.