Общее дифференциальное уравнение пространственной задачи консолидации, устанавливающее зависимость между скоростью вытекания (фильтрации) воды из единичного объема и временем при уплотнении водонасыщенных грунтов, может быть записано так:
(IV.3.4)
Для решения этой задачи принимаем линейную зависимость между коэффициентом пористости и давлением
. (IV.3.5)
Считаем, что движение воды при уплотнении сильносжимаемых водонасыщенных грунтов проходит с отклонением от закона Дарси. При этом величина начального градиента напора принимается постоянной и равной среднему значению (начального) градиента, изменяющегося в процессе уплотнения. Если вертикальными плоскостями отделить зону влияния дрен в массиве грунта друг от друга (см. рис. IV.2), то массив разделится на отдельные призматические блоки с вертикальной дреной в центре.
В пределах каждого блока отжатие воды из грунта происходит таким образом, как если бы вертикальные стороны блоков были покрыты водонепроницаемыми мембранами, так как отжимаемая из водонасыщенного грунта вода движется в противоположные стороны от плоскостей вертикальных сечений в направлении дрены. Без существенных ошибок можно заменить призматические блоки цилиндрами того же объема с дреной, расположенной по оси цилиндра.
В этом случае пространственная задача консолидации сводится к осесимметричной задаче. Для решения этой задачи целесообразно принять цилиндрическую систему координат. Уравнение (IV.3.4) после подстановки в него ; запишется в виде
. (IV.3.6)
Согласно принятому нами основному положению консолидации, сумма порового и эффективного напряжений в грунте в любой момент времени t равна внешней нагрузке q:
.
Решая совместно уравнения (IV.3.5) и (IV.3.6), получим
. (IV.3.7)
Рассмотрим случай, когда движение воды происходит только горизонтально к вертикальной дрене. Такой случай возможен, когда вертикальные дрены устраивают без сплошной горизонтальной песчаной подушки (например, при устройстве гидротехнических дамб).
При движении воды горизонтально закон фильтрации примет следующий вид:
. (IV.3.8)
Учитывая, что , и подставляя выражения (IV.3.7) и (IV.3.8) в уравнение (IV.3.6), получим
или
. (IV.3.9)
Выражение известно в механике грунтов как коэффициент консолидации. С учетом этого уравнение осесимметричной задачи принимает следующий вид:
. (IV.3.10)
Математически задача сводится к интегрированию неоднородного линейного дифференциального уравнения
(IV.3.10')
при граничных и начальных условиях:
(IV.3.11)
Если расстояние между дренами в плане таково, что радиус цилиндрического грунтового блока R, по оси которого расположена дрена, меньше Rф, где , то исходя из положения, что на расстоянии от центра дрены R до края грунтового цилиндра скорост фильтрации через поверхность цилиндра равна нулю, граничное условие может быть принято следующим:
.
Это объясняется тем, что поверхность цилиндра является поверхностью, делящей расстояние между дренами пополам, в результате чего возникает симметричный отток воды от поверхности цилиндра к дренам. Аналогичное допущение было сделано Л. Рендулликом и Р. Барроном в своих работах.
Если радиус грунтового цилиндра R больше Rф, фильтрации на расстоянии, равном или большем Rф от поверхности дрены, не будет. В этом случае граничные условия следует определять на границе Rф, т. е. на этой границе скорость фильтрации равна нулю:
.
При этом оказывается, что в грунтовом цилиндре, в зоне, где R>Rф фильтрация в грунтах отсутствует, вода не отжимается в дрены и применение их неэффективно. Таким образом, вертикальные дрены следует располагать в плане на таком расстоянии одна от другой, чтобы . Будем искать в виде суммы двух функций
, (IV.3.12)
причем функцию U(r) подберем так, чтобы она удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению
(IV.3.13)
и граничным условиям:
(IV.3.14)
Функцию W(rt) подберем так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению
(IV.3.15)
и граничным и начальным условиям
(IV.3.16)
Можно показать, что сумма (IV.3.12) выбранных таким образом функций будет удовлетворять всем условиям задачи (IV.3.11). Действительно, имеем тождество:
,
.
Перейдем к решению первой вспомогательной задачи (IV.3.13). Заменив в этом уравнении dU/dr через b, получим решение в виде
. (IV.3.17)
Уравнение (IV.3.15) при начальном и граничных условиях (IV.3.16, а) решаем методом разделения переменных Фурье.
Ищем решение этого уравнения в виде произведения из которых зависит только от , а только от t. Подставляя последнее равенство в (IV.3.15), находим
. (IV.3.18)
Так как левая часть последнего равенства зависит от и не зависит от , а правая часть зависит от и не зависит от , то равенство левой и правой частей этого уравнения возможно лишь тогда, когда они обе равны одному и тому же постоянному числу. Из физических условий задачи следует, что это постоянное число не может быть положительным, так как в этом случае величина порового давления с возрастанием времени увеличивается и может сделаться больше любой наперед заданной величины, что невозможно. Следовательно, это число должно быть отрицательным. Приравнивая каждое из отношений в (IV.3.18) отрицательному постоянному числу , получаем первое уравнение
(IV.3.19)
и второе уравнение
.
Последнее представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка, общий интеграл которого
. (IV.3.20.)
Уравнение (IV.3.20) имеет решение
, (IV.3.21)
где и - есть функции Бесселя и Неймана нулевого порядка.
Дифференцируя (IV.3.21) по r, находим
, (IV.3.22)
где и - функции Бесселя и Неймана первого порядка.
Уравнение (IV.3.22) получено из следующих свойств бесселевых функций:
.
Подставляя в (IV.3.21) и в (IV.3.22) , а также используя граничные условия (IV.3.16, а и б), получим
(1V.3.23)
Для того чтобы система двух линейных однородных уравнений относительно неизвестных А и В имела нетривиальные решения, определитель системы должен быть равен нулю:
.
Отсюда для определения собственных чисел получаем следующее характеристическое уравнение:
. (IV.3.24)
Это уравнение имеет множество положительных вещественных корней , которым соответствует множество решений вида
(IV.3.25)
Если в это выражение вместо подставить его значение из (IV.3.23), то
,
, (IV.3.26)
где введены обозначения
. (IV.3.27)
Решение уравнения (IV.3.15) будем искать в виде бесконечного ряда, членами которого являются функции W(rt):
. (IV.3.28)
Для определения коэффициентов этого разложения воспользуемся начальным условием (IV.3.16,в). Полагая в уравнении (IV.3.28) , получим
. (IV.3.29)
Умножая левую и правую части уравнения (IV.3.29) на и интегрируя в пределах от до , получаем (предполагая допустимость почисленного интегрирования ряда)
. (IV.3.30)
Покажем, что система бесселевых функций на интервале ортогональна с весом , т. е. что
, при ,
так как
(IV.3.31)
где
(IV.3.32)
. (IV.3.33)
Если и являются корнями характеристического уравнения (IV.3.24), то
. (IV.3.34)
Непосредственной подстановкой в (IV.3.33) получаем тождества:
.
Таким образом, при всех , формула (IV.3.30) дает
, (IV.3.35)
что и выражает ортогональность системы функций
с весом в промежутке .
Так как все члены ряда (IV.3.30) обращаются в нули, кроме одного, соответствующего значению , то это равенство можно записать в виде
. (IV.3.36)
Согласно теории бесселевых функций
, (IV.3.37)
и, применяя соотношения (IV.3.36) и (IV.3.37), получим
. (IV.3.38)
Преобразуем правую часть последнего равенства к бесселевым функциям первого рода. Для вычисления положим в выражении (IV.3.32) и воспользуемся формулой для вронскиана функций и :
. (IV.3.39)
Тогда
. (IV.3.40)
Для нахождения заметим, что по характеристическому уравнению (IV.3.20)
(IV.3.41)
и поэтому
.
Применяя формулу (IV.3.40), находим
. (IV.3.42)
Подставляя значение (IV.3.40) и (IV.3.42) в (IV.3.38), получаем
. (IV.3.43)
Таким образом, окончательное решение уравнения (IV.3.15) дается рядом (IV.3.28)
(IV.3.44)
Согласно (IV.3.16, в) и (IV.3.17)
.
Для нахождения интеграла в выражении (IV.3.43)
применим формулу интегрирования по частям, полагая
;
,
откуда
;
и, следовательно,
(IV.3.45)
Для вычисления применим также формулу интегрирования по частям и найдем, что
. (IV.3.46)
Подставляя в (IV.3.45) это выражение, получим
. (IV.3.47)
Значение интеграла вычислим, пользуясь формулой трапеции, взяв шаг . Тогда
.
Подставляя найденное значение выражения (IV.3.47) в (IV.3.44) и взяв сумму функций (IV.3.17) и (IV.3.44), получим окончательное решение задачи (IV.3.10)
. (IV.3.48)
Введем обозначения:
.
Тогда характеристическое уравнение принимает вид:
, (IV.3.49)
в котором через обозначены корни этого уравнения.
|