Главная страница >> Водонасыщенные глинистые грунты >> Метод расчета дифференциального уравнения пространственной задачи консолидации. Когда движение воды происходит только горизонтально к вертикальной дрене

Метод расчета дифференциального уравнения пространственной задачи консолидации. Когда движение воды происходит только горизонтально к вертикальной дрене

Общее дифференциальное уравнение пространственной задачи консолидации, устанавливающее зависимость между скоростью вытекания (фильтрации) воды из единичного объема и временем при уплотнении водонасыщенных грунтов, может быть записано так:


(IV.3.4)


Для решения этой задачи принимаем линейную зависимость между коэффициентом пористости и давлением


.                                  (IV.3.5)


Считаем, что движение воды при уплотнении сильносжимаемых водонасыщенных грунтов проходит с отклонением от закона Дарси. При этом величина начального градиента напора принимается постоянной и равной среднему значению (начального) градиента, изменяющегося в процессе уплотнения.
Если вертикальными плоскостями отделить зону влияния дрен в массиве грунта друг от друга (см. рис. IV.2), то массив разделится на отдельные призматические блоки с вертикальной дреной в центре.

В пределах каждого блока отжатие воды из грунта происходит таким образом, как если бы вертикальные стороны блоков были покрыты водонепроницаемыми мембранами, так как отжимаемая из водонасыщенного грунта вода движется в противоположные стороны от плоскостей вертикальных сечений в направлении дрены. Без существенных ошибок можно заменить призматические блоки цилиндрами того же объема с дреной, расположенной по оси цилиндра.

В этом случае пространственная задача консолидации сводится к осесимметричной задаче. Для решения этой задачи целесообразно принять цилиндрическую систему координат.
Уравнение (IV.3.4) после подстановки в него ; запишется в виде


.                    (IV.3.6)


Согласно принятому нами основному положению консолидации, сумма порового и эффективного напряжений в грунте в любой момент времени t равна внешней нагрузке q:


.


Решая совместно уравнения (IV.3.5) и (IV.3.6), получим


.                       (IV.3.7)


Рассмотрим случай, когда движение воды происходит только горизонтально к вертикальной дрене. Такой случай возможен, когда вертикальные дрены устраивают без сплошной горизонтальной песчаной подушки (например, при устройстве гидротехнических дамб).

При движении воды горизонтально закон фильтрации примет следующий вид:


.                      (IV.3.8)

 

Учитывая, что , и подставляя выражения (IV.3.7) и (IV.3.8) в уравнение (IV.3.6), получим



или


.           (IV.3.9)


Выражение известно в механике грунтов как коэффициент консолидации. С учетом этого уравнение осесимметричной задачи принимает следующий вид:


.                     (IV.3.10)


Математически задача сводится к интегрированию неоднородного линейного дифференциального уравнения


(IV.3.10')


при граничных и начальных условиях:


(IV.3.11)


Если расстояние между дренами в плане таково, что радиус цилиндрического грунтового блока R, по оси которого расположена дрена, меньше Rф, где , то исходя из положения, что на расстоянии от центра дрены R до края грунтового цилиндра скорост фильтрации через поверхность цилиндра равна нулю,  граничное условие может быть принято следующим:


.


Это объясняется тем, что поверхность цилиндра является поверхностью, делящей расстояние между дренами пополам, в результате чего возникает симметричный отток воды от поверхности цилиндра к дренам. Аналогичное допущение было сделано Л. Рендулликом и Р. Барроном в своих работах.

Если радиус грунтового цилиндра R больше Rф, фильтрации на расстоянии, равном или большем Rф от поверхности дрены, не будет. В этом случае граничные условия следует определять на границе Rф, т. е. на этой границе скорость фильтрации равна нулю:


.


При этом оказывается, что в грунтовом цилиндре, в зоне, где R>Rф фильтрация в грунтах отсутствует, вода не отжимается в дрены и применение их неэффективно.
Таким образом, вертикальные дрены следует располагать в плане на таком расстоянии одна от другой, чтобы .
Будем искать в виде суммы двух функций


,                        (IV.3.12)


причем функцию U(r) подберем так, чтобы она удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению


(IV.3.13)


и граничным условиям:


(IV.3.14)


Функцию W(rt) подберем так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению


(IV.3.15)


и граничным и начальным условиям


(IV.3.16)


Можно показать, что сумма (IV.3.12) выбранных таким образом функций будет удовлетворять всем условиям задачи (IV.3.11). Действительно, имеем тождество:



,


.


Перейдем к решению первой вспомогательной задачи (IV.3.13). Заменив в этом уравнении dU/dr через b, получим решение в виде


.                           (IV.3.17)


Уравнение (IV.3.15) при начальном и граничных условиях (IV.3.16, а) решаем методом разделения переменных Фурье.


Ищем решение этого уравнения в виде произведения из которых зависит только от , а только от t. Подставляя последнее равенство в (IV.3.15), находим



.                           (IV.3.18)


Так как левая часть последнего равенства зависит от и не зависит от , а правая часть зависит от и не зависит от , то равенство левой и правой частей этого уравнения возможно лишь тогда, когда они обе равны одному и тому же постоянному числу. Из физических условий задачи следует, что это постоянное число не может быть положительным, так как в этом случае величина порового давления с возрастанием времени увеличивается и может сделаться больше любой наперед заданной величины, что невозможно. Следовательно, это число должно быть отрицательным.
Приравнивая каждое из отношений в (IV.3.18) отрицательному постоянному числу , получаем первое уравнение


(IV.3.19)


и второе уравнение


.


Последнее представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка, общий интеграл которого


.                            (IV.3.20.)


Уравнение (IV.3.20) имеет решение


,              (IV.3.21)


где и - есть функции Бесселя и Неймана нулевого порядка.


Дифференцируя (IV.3.21) по r, находим


,        (IV.3.22)


где и - функции Бесселя и Неймана первого порядка.

Уравнение (IV.3.22) получено из следующих свойств бесселевых функций:



.


Подставляя в (IV.3.21) и в (IV.3.22) , а также используя граничные условия (IV.3.16, а и  б), получим


(1V.3.23)


Для того чтобы система двух линейных однородных уравнений относительно неизвестных А и В имела нетривиальные решения, определитель системы должен быть равен нулю:


.


Отсюда для определения собственных чисел получаем следующее характеристическое уравнение:


.                     (IV.3.24)


Это уравнение имеет множество положительных вещественных корней , которым соответствует множество решений вида


(IV.3.25)


Если в это выражение вместо подставить его значение из (IV.3.23), то


,


,                           (IV.3.26)


где введены обозначения



.                   (IV.3.27)


Решение уравнения (IV.3.15) будем искать в виде бесконечного ряда, членами которого являются функции W(rt):


.                (IV.3.28)


Для определения коэффициентов этого разложения воспользуемся начальным условием (IV.3.16,в). Полагая в уравнении (IV.3.28) , получим


.             (IV.3.29)


Умножая левую и правую части уравнения (IV.3.29) на и интегрируя в пределах от до , получаем (предполагая допустимость почисленного интегрирования ряда)


.     (IV.3.30)


Покажем, что система бесселевых функций на интервале ортогональна с весом , т. е. что


, при ,


так как


(IV.3.31)


где


(IV.3.32)


.              (IV.3.33)


Если и являются корнями характеристического уравнения (IV.3.24), то


.                        (IV.3.34)


Непосредственной подстановкой в (IV.3.33) получаем тождества:


.


Таким образом, при всех , формула (IV.3.30) дает


,                              (IV.3.35)


что и выражает ортогональность системы функций

 


с весом в промежутке .

Так как все члены ряда (IV.3.30) обращаются в нули, кроме одного, соответствующего значению , то это равенство можно записать в виде


.                   (IV.3.36)


Согласно теории бесселевых функций


, (IV.3.37)


и, применяя соотношения (IV.3.36) и (IV.3.37), получим


.                  (IV.3.38)


Преобразуем правую часть последнего равенства к бесселевым функциям первого рода. Для вычисления положим в выражении (IV.3.32) и воспользуемся формулой для вронскиана функций и :


.                            (IV.3.39)


Тогда


.                  (IV.3.40)


Для нахождения заметим, что по характеристическому уравнению (IV.3.20)


(IV.3.41)


и поэтому


.

 

Применяя формулу (IV.3.40), находим


.                     (IV.3.42)


Подставляя значение (IV.3.40) и (IV.3.42) в (IV.3.38), получаем


.                   (IV.3.43)


Таким образом, окончательное решение уравнения (IV.3.15) дается рядом (IV.3.28)


(IV.3.44)


Согласно (IV.3.16, в) и (IV.3.17)


.


Для нахождения интеграла в выражении (IV.3.43)



применим формулу интегрирования по частям, полагая


;


,


откуда


;



и, следовательно,


(IV.3.45)


Для вычисления применим также формулу интегрирования по частям и найдем, что


.               (IV.3.46)


Подставляя в (IV.3.45) это выражение, получим


.                (IV.3.47)


Значение интеграла вычислим, пользуясь формулой трапеции, взяв шаг . Тогда


.


Подставляя найденное значение выражения (IV.3.47) в (IV.3.44) и взяв сумму функций (IV.3.17) и (IV.3.44), получим окончательное решение задачи (IV.3.10)


.              (IV.3.48)


Введем обозначения:


.


Тогда характеристическое уравнение принимает вид:


,                (IV.3.49)


в котором через обозначены корни этого уравнения.